Paradojas matemáticas.

Las paradojas designan hechos o frases que parecen oponerse a los principios de la lógica, han tenido un papel crucial en la historia intelectual, a menudo presentando los desarrollos revolucionarios de las ciencias, de las matemáticas y de la lógica. A continuación, conoceremos 8 interesantes paradojas matemáticas.

1. Paradoja del cuadrado perdido:

La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica usada en clases de matemáticas, para ayudar a los estudiantes a razonar sobre las figuras geométricas. Está compuesta de dos figuras en forma de triángulo de base 13 y altura 5, formadas por las mismas piezas, donde uno aparenta tener un "agujero" de 1×1 en él.

La clave de la paradoja está en el hecho de que ninguno de los triángulos tiene la misma área que sus piezas componentes. El área de cada pieza es:

Pieza roja: 12 cuadrados.

Pieza verde: 8 cuadrados.

Pieza amarilla: 7 cuadrados.

Pieza azul: 5 cuadrados.

Las cuatro figuras (amarilla, roja, azul y verde) ocupan un total de 32 cuadrados, pero el triángulo tiene 13 de base por 5 de altura, lo que supone un área de 32,5 cuadrados.

La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que en realidad tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas. Si comparamos los ángulos de inclinación de la hipotenusa respecto de la base de los triángulos rojo y azul vemos que son distintos. En el triángulo rojo el ángulo es 20.55°, mientras que en el azul es 21.8°. Así, la suma de los tres ángulos en la figura de arriba es menor que 180°, mientras que en la figura de abajo la suma de los tres ángulos es mayor que 180°.

2. Paradoja de Zenón (Aquiles y la tortuga):

Semejante a la fábula de la liebre y la tortuga, esta paradoja procedente de la Antigüedad nos presenta un intento de demostrar que el movimiento no puede existir.

La paradoja nos presenta a Aquiles, el héroe mitológico apodado “el de los pies veloces”, el cual compite en una carrera con una tortuga. Teniendo en cuenta su velocidad y la lentitud de la tortuga, decide darle una ventaja bastante considerable. Sin embargo, cuando llega a la posición en la que estaba la tortuga inicialmente, Aquiles observa que esta ha avanzado en el mismo tiempo que él llegaba hasta allí y se encuentra más adelante.

Asimismo, cuando consigue superar esta segunda distancia que los separa la tortuga ha avanzado un poco más, algo que hará que tenga que continuar corriendo para llegar al punto donde ahora está la tortuga. Y al llegar allí, la tortuga seguirá por delante, pues sigue avanzando sin parar de tal manera que Aquiles siempre se encuentra detrás de ella.

Esta paradoja matemática es altamente contraintuitiva. Técnicamente es fácil de imaginar que Aquiles o cualquier persona acabaría por adelantar a la tortuga relativamente rápido, al ser más veloz. Sin embargo, lo que la paradoja propone es que, si la tortuga no para ella seguirá avanzando, de tal manera que cada vez que Aquiles llegue a la posición a la que estaba esta estará un poquito más allá, de manera indefinida (aunque los tiempos serán cada vez más cortos.

Se trata de un cálculo matemático basado en el estudio de las series convergentes. De hecho, aunque pueda parecer sencilla esta paradoja no ha podido ser contrastada hasta hace relativamente poco, con el descubrimiento de la matemática infinitesimal.

3. La paradoja sorites:

Una poco conocida paradoja pero que sin embargo resulta útil a la hora de tener en cuenta el uso del lenguaje y la existencia de conceptos vagos. Creada por Eubulides de Mileto, esta paradoja trabaja con la conceptualización del concepto "montón".

Concretamente, se propone dilucidar cuánta cantidad de arena se consideraría un montón. Obviamente un grano de arena no parece un montón de arena. Tampoco dos, o tres. Si a cualquiera de estas cantidades le añadimos un grano más (n+1), seguiremos sin tenerlo. Si pensamos en miles, seguramente sí consideraremos estar ante un montón. Por otro lado, si a este montón de arena le vamos quitando grano a grano (n-1) tampoco podríamos decir que estamos dejando de tener un montón de arena.

La paradoja se encuentra en la dificultad para hallar en qué punto podemos considerar que estamos ante el concepto “montón” de algo: si tenemos en cuenta todas las consideraciones anteriores un mismo conjunto de granos de arena podría tanto clasificarse como montón como no hacerlo.

4. La cinta de Möbius:

La Cinta de Möbius aparenta ser un objeto de tres dimensiones, pero no es así; es más bien una superficie con una sola cara y un solo borde. Además de que tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable, una superficie reglada. Fue descubierta en forma independiente en 1858 por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing.

Es una superficie que sólo posee una cara: Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior. Tiene sólo un borde: Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

Es una superficie no orientable: Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizará sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

5. La paradoja de Monty Hall:

El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal (Hagamos un trato), famoso entre 1963 y 1986. Su nombre proviene del presentador, Monty Hall.

En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe dónde está el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

¿Cuál sería la opción correcta?

Quedarse con la puerta inicial.

Cambiar a la otra puerta.

Es irrelevante cambiar o no cambiar

A primera vista parece obvio que da igual (opción 3). La intuición nos dice que ahora, quitando una puerta sin premio, la puerta que nosotros escogimos tiene un 50 % de tener una cabra y por tanto da igual cambiar que no hacerlo. 

La solución más simple al problema de Monty Hall es intuitiva. La probabilidad de elegir la puerta con el vehículo como premio es 1 de 3 (⅓). Mientras, las posibilidades de perder son de ⅔. Es decir, si mantiene su elección inicial mantiene ⅓ de probabilidades de acierto. Por otra parte, si cambia su elección la probabilidad de ganar el vehículo aumenta a ⅔. 

Por lo tanto, el problema de Monty Hall muestra que el participante debe cambiar de elección para maximizar sus probabilidades de escoger el coche.

6. La paradoja del hotel infinito:

El Hotel infinito de Hilbert es una metáfora paradójica relacionada con el mundo de las matemáticas.

Dos grandes empresarios con un hotel gigante, tienen el problema de que quieren garantizar a los clientes que siempre tendrán una habitación disponible para un nuevo cliente. Como el hotel actual, con 1.000.000 de habitaciones no era suficiente, tomaron cartas en el asunto.

Los dos empresarios decidieron construir el primer hotel con habitaciones infinitas. Un número infinito de habitaciones garantizaba dar alojamiento a un número infinito de clientes. Pero al llegar un nuevo cliente, se vieron de nuevo con el mismo problema.

Para ello idearon una solución. Dar alojamiento a los clientes con la única condición de que, si llega un nuevo cliente, tienen que abandonar su habitación e irse a la habitación siguiente (+1). Así, el nuevo cliente se hospedaría en la habitación 1, y el resto se iría rodando a la habitación directamente siguiente. Como el hotel tiene un número infinito de habitaciones, no habría última habitación.

7. La paradoja del barbero:

Hace mucho tiempo, había muy pocos barberos, y estaban saturados de trabajo y no podían atender a todos los clientes. El Rey, para solucionar este problema dijo: Que los barberos solo podían afeitar a las personas que no pudieran afeitarse por sí mismas.

Un barbero fue a ver al Rey y le dijo: Como barbero, no me puedo afeitar a mí mismo, ya que sí puedo afeitarme, pero por ese mismo razonamiento, sí podría afeitarme. Pero como soy barbero, no podría afeitarme, al ser el único barbero de mi zona ¿Qué puedo hacer?

Y aquí es cuando se forma la paradoja, y además de las complicadas. Tanto, que pensamos que no tiene solución.

La solución de esta paradoja es que, si se define al barbero como la persona que afeita a las personas que no se afeitan a sí mismas, si el barbero se afeitara a sí mismo la afirmación no sería correcta. La solución a esta paradoja la da la teoría de conjuntos, es que le afeita otro barbero y se queda con la barba. Por ello, llegamos a la conclusión que las situaciones pueden ser verdaderas, falsas o las dos cosas a la vez. Naciendo la teoría de conjuntos singulares.

8. La paradoja de Hempel:

Concretamente, se trata de la paradoja de Hempel, la cual pretende dar cuenta de los problemas vinculados al uso de la inducción como elemento de conocimiento además de servir como problema a valorar a nivel estadístico.

Así, su existencia en el pasado ha facilitado el estudio de la probabilidad y de metodologías diversas para incrementar la fiabilidad de nuestras observaciones, como las propias del método hipotético-deductivo.

La paradoja en sí, conocida también como la del cuervo, establece que considerar que la afirmación “todos los cuervos son negros” es verdadero implica que “todos los objetos no negros no son cuervos”. Ello implica que todo lo que veamos que no sea negro y no sea un cuervo reforzará nuestra creencia y confirmará no solo que todo lo no negro no es un cuervo sino también la complementaria: “todos los cuervos son negros”. Estamos ante a un caso en el que la probabilidad de que nuestra hipótesis original sea cierta aumenta cada vez que veamos un caso que no lo confirma.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que lo mismo que nos confirmaría que todos los cuervos son negros también nos podría confirmar que son de cualquier otro color, así como el hecho de que únicamente si conociéramos todos los objetos no negros para garantizar que son no cuervos podríamos tener un convencimiento real.

Si deseas conocer más interesantes paradojas matemáticas puedes ingresar al siguiente enlace:

https://www.superprof.cl/blog/paradojas-matematicas-famosas/

En el siguiente vídeo podrás conocer una explicación acerca de la paradoja 1=2: